Lecția 18. INTERVALE DE NUMERE REALE – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

5 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

Tipuri de intervale. Fie

$a, b \in ℝ, a < b$

$(a, b) = \{x \in ℝ | a < x < b\} (a, b] = \{x \in ℝ | a < x \leq b\} [a, b) = \{x \in ℝ | a \leq x < b\} [a, b] = \{x \in ℝ | a \leq x \leq b\} (- \infty, a) = \{x \in ℝ | x < a\} (- \infty, a] = \{x \in ℝ | x \leq a\} (a, + \infty) = \{x \in ℝ | x > a\} [a, + \infty) = \{x \in ℝ | x \geq a\}$

Primele 4 intervale (în ordinea prezentată) sunt intervale mărginite, celelalte intervale sunt nemărginite.

Obs.:

$[a, a] = \{a\}$

• Exemple de intervale

$(- 1, 2) = \{x \in ℝ | - 1 < x < 2\} (4, \sqrt{21}] = \{x \in ℝ | 4 < x \leq \sqrt{21}\} [- \frac{1}{2}; 0, 5) = \{x \in ℝ | - \frac{1}{2} \leq x < 0, 5\} [- 7, 0] = \{x \in ℝ | - 7 \leq x \leq 0\} (- \infty, - 24) = \{x \in ℝ | x < - 24\} (- \infty, 3, (24)] = \{x \in ℝ | x \leq 3, (24)\} (0, + \infty) = \{x \in ℝ | x > 0\} [- 10, + \infty) = \{x \in ℝ | x \geq - 10\}$

• Operații cu intervale

Intervalele de numere reale sunt mulțimi de numere ( reale). Operațiile cu intervale sunt operațiile cu mulțimi: reuniune (

$\cup$

), intersecție (

$\cap$

), diferență ( – ).

Exemple:

1) Reuniune

$(- 10, 20) \cup [- 5, 34] = (- 10, 34] (- \infty, 17) \cup [5, 10) = (- \infty, 17) [- 3, 3] \cup [2, 8) = (- 3, 8)$

$[- 5, 7) \cup (7, 9)$

nu se poate scrie sub forma unui interval ( numărul 7 nu face parte nici din primul interval, nici din al doilea)

2) Intersecție

$(- 10, 20) \cap [- 5, 34] = (- 5, 20] (- \infty, 17 \cap [5, 10) = [5, 17) [- 3, 3] \cap [2, 8) = [2, 3] [- 5, 7) \cap (7, 9) = \emptyset$

3) Diferența

$(- 10, 20) - [- 5, 34] = (- 10, - 5) (- \infty, 17) - [5, 10) = (- \infty, 5) \cup [10, 17) [- 3, 3] - [2, 8) = [- 3, 2) [2, 8) - [- 3, 3] = (3, 8) [- 5, 7) - (7, 9) = [- 5, 7)$

Observație: Dacă avem mai multe operații, le efecuăm în ordinea în care apar.

• Inegalități cu modul

$\{x \in ℝ | |x| \leq a\} = [- a, a], \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| < a\} = (- a, a), \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| \geq a\} = (- \infty, a] \cup [a, + \infty) \forall a \geq 0 \{x \in ℝ | |x| > a\} = (- \infty, a) \cup (a, + \infty) \forall a \geq 0$

• Exercițiu

Aflați opusul produsului dintre cel mai mic număr întreg al mulțimii

$A \cap B$

și cel mai mare număr natural al mulțimii

$B$

unde

$A = \{X \in ℝ | |\frac{2 X + 1}{9}| \leq 1\}$

$B = \{X \in ℝ | - 1 < 5 - 2 x \leq 17\}$

Rezolvare:

$|\frac{2 x + 1}{9}| \leq 1 \Leftrightarrow - 1 \leq \frac{2 x + 1}{9} \leq 1 | \cdot (+ 9) \Leftrightarrow - 9 \leq 2 x + 1 \leq 9 | + (- 1) \Leftrightarrow - 10 \leq 2 x \leq 8 | : 2 \Leftrightarrow - 5 \leq x \leq 4 \Leftrightarrow x \in [- 5, 4] - 1 < 5 - 2 x \leq 17 | + (- 5) \Leftrightarrow - 6 < - 2 x \leq 12 | : (- 2) \Leftrightarrow 3 > x \geq - 6 \Leftrightarrow - 6 \leq x < 3 \Leftrightarrow x \in [- 6, 3) \Rightarrow B = [- 6, 3)$

Cel mai mare număr natural al mulțimii

$B$

este 2.

$A \cap B = [- 5, 4] \cap [- 6, 3) = [- 5, 3)$

. Cel mai mic număr întreg este -5

Produsul cerut este

$(- 5) \cdot 2 = - 10$

, opusul său este 10.

• Riscuri (greșeli)

– să scriem în stânga intervalului un număr mai mare decât în dreapta.

KIDI- sfat: Imaginați-vă ( sau desenați) pe axa nunerelor, capetele intervalelor: în stânga întotdeauna este numărul mai mic!

– să nu scriem corect capetele intervalelor.

KIDI- sfat: Reprezentați pe axă cele două intervale și analizați cu atenție capetele intervalelor.

– să nu schimbăm sensul inegalităților când înmulțim ( sau împărțim) cu un număr negativ.

KIDI- sfat:

Mai întâi „scăpăm” de semnul – , înmulțind relația cu (-1) și schimbând sensul inegalităților. De exemplu, în Exercițiul rezolvat:

$- 1 < 5 - 2 x \leq 17 | + (- 5) \Leftrightarrow - 6 < - 2 x \leq 12 | : (- 1) \Leftrightarrow 6 > 2 x \geq - 12 | : (+ 2) \Leftrightarrow 3 > x \geq - 6 \Leftrightarrow - 6 \leq x < 3 \Leftrightarrow x \in [- 6, 3)$

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Stupidika a conceput un plan prin care să paralizeze toate acțiunile educative din România. Vor arunca cu bolovani spațiali uriași către toate școlile din țară. Va fi un dezastru. Victime, haos, sărăcie. Tu ai fost desemnat să-l oprești. Mult succes!

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 18. INTERVALE DE NUMERE REALE – pregătirea Evaluării Naționale"

Numerele naturale din mulțimea $[- 2, 3] - (1, 10)$ sunt în număr de
$(- 1, 5) \cup \{5\} =$
Numărul neumerelor întregi din intervalul $(- \sqrt{26}, \sqrt{32})$ este egal cu