Lecția 19. NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE – pregătirea Evaluării Naționale 2020

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

– Orice produs dintre un număr real și produs de puteri ale numerelor reale a,b,c,…x,y,z se numeste NUMĂR REAL REPREZENTAT PRIN LITERE.

Exemple: 2a,

$–\sqrt{3}a$

,

$12,3x{y}^3{z}^2$

,

$–\frac{2}{3}ab{c}^2$

.

– Numărul real se numește COEFICIENT ( parte numerică) iar produsul de puteri se numește PARTE LITERALĂ

Exemplu: Pentru

$–\sqrt{3}{a}^3$

,

$–\sqrt{3}$

este coeficientul, iar

$a^3$

este partea literală

– Două numere reale reprezentate prin litere, care au aceeași parte literală se numesc TERMENI ASEMENEA

• Adunarea

Se adună DOAR termenii asemenea: pentru coeficient se adună coeficienții, pentru partea literală se scrie partea literală comună.

Exemplu:

$3\sqrt{2}a{b}^2+7\sqrt{2}a{b}^2=10\sqrt{2}a{b}^2$

• Scăderea

Se scad DOAR termenii asemenea: pentru coeficient se scad coeficienții, pentru partea literală se scrie partea literală comună.

Exemplu:

$\frac{3}{2}{x}^{2}y{z}^3–\frac{5}{2}{x}^{2}y{z}^3=–\frac{2}{2}{x}^{2}y{z}^3=–x^{2}y{z}^3$

• Înmulțirea

Pentru coeficientul produsului se înmulțesc coeficienții, pentru partea literală se folosește formula

$a^m·a^n=a^{m+n}$

Exemplu:

$\left(–5a{x}^2\right)·\left(3\sqrt{2}x{y}^2\right)=–15\sqrt{2}a{x}^3{y}^2$

• Împărțirea

Pentru coeficientul câtului se împart coeficienții, pentru partea literală se folosește formula

$a^m:a^n=a^{m–n}$

Exemplu:

$\left(–5a^3{x}^{2}y\right):\left(–\frac{2}{3}xy\right)=\frac{15}{2}{a}^{3}x$

• Ridicarea la putere

Pentru coeficientul puterii se ridică la acea putere coeficientul, pentru partea literală se folosește formula

${\left(a^m\right)}^n=a^{m·n}$

Exemplu:

${\left(–0,2x{y}^2\right)}^3=–0,008x^3{y}^6$

• Observații 

– Se păstrează toate proprietățile operației de adunare, cunoscute pentru numerele reale. –

– Dacă avem coeficientul 1 sau -1, aceștia se pot omite în scriere, prin convenție ( 1x = x, sau -1xy= – xy)

– Se păstrează toate proprietățile operației de înmulțire, cunoscute pentru numerele reale.

– Dacă avem exponentul 1 , acesta se poate omite în scriere, prin convenție (

$x^1$

= x) Dacă avem exponentul 0 ,

$x^0$

= 1

– Se păstrează toate elementele cunoscute pentru ordinea efectuării operețiilor ( de la numere reale)

– Pentru coeficient egal cu 0, numărul real reprezentat prin litere este 0.

– La adunarea a doi termeni asemenea în care coeficienții sunt numere opuse, obținem 0

– O expresie în care apar mai multe numere reale reprezentate prin litere, între care avem semnele + sau – se numește EXPRESIE ALGEBRICĂ.

– Adunarea/ scăderea termenilor dintr-o expresie algebrică se numește RESTRĂNGEREA termenilor asemenea.

– Dacă într-o expresie algebică avem termeni asemenea cu coeficienți numere opuse, le putem REDUCE ( suma lor fiind 0).

• Exerciții rezolvate

1)

$$\begin{gathered} x\left(x+1\right)–\left(x+2\right)\left(x–3\right)= \\ =x^2+x–\left(x^2–3x+2x–6\right)= \\ =\cancel{x^2}+x–\cancel{x^2}+3x–2x+6= ( x^2 și –x^2 s–au „redus”) \\ =2x+6 \end{gathered}$$

2) Calculați

$E= {\left(2x\right)}^2·y–{\left(–3xy\right)}^2:\left[\left(–x\right)·y\right]·y+5x^{2}y$

Rezolvare:

Efectuăm prima dată ridicările la putere:

$E= 4x^2·y–9x^2{y}^2:\left[\left(–x\right)·y\right]·y+5x^{2}y$

Efectuăm calculul din paranteză:

$E= 4x^2·y–9x^2{y}^2:\left(–xy\right)·y+5x^{2}y$

Efectuăm prima înmulțire și împărțirea:

$E= 4x^{2}y+9xy·y+5x^{2}y$

Efectuăm înmulțirea:

$E= 4x^{2}y+9x{y}^2+5x^{2}y$

Restrângem termenii asemenea ( primul cu ultimul):

$E=9x^{2}y+9x{y}^2$

Atenție!

$x^{2}y, x{y}^2$

nu sunt „asemenea”, expresia algebrică nu mai poate fi prelucrată.

3. Calculați

$E=\left[–4x^2{y}^2+\left(5x^2{y}^3\right):\left(–y\right)\right]·\left(–\frac{1}{3}ab\right)–\sqrt{3}{x}^2{y}^{2}ab$

Rezolvare:

Efectuăm prima dată ridicarea la putere:

$E=\left[–{\left(–2xy\right)}^2+\left(5x^2{y}^3\right):\left(–y\right)\right]·\left(–\frac{1}{3}ab\right)–\sqrt{3}{x}^2{y}^{2}ab$

Efectuăm împărțirea:

$E=\left[–4x^2{y}^2–5x^2{y}^2\right]·\left(–\frac{1}{3}ab\right)–\sqrt{3}{x}^2{y}^{2}ab$

Efectuăm calculul din paranteză:

$E=\left[–9x^2{y}^2\right]·\left(–\frac{1}{3}ab\right)–\sqrt{3}{x}^2{y}^{2}ab$

Efectuăm înmulțirea:

$E=3x^2{y}^{2}ab–\sqrt{3}{x}^2{y}^{2}ab$

Termenii sunt asemenea, putem efectua scăderea:

$E=\left(3–\sqrt{3}\right)x^2{y}^{2}ab$

Atenție! În paranteză nu se mai pot restrânge termenii, pentru că nu sunt „asemenea”.

• Riscuri (greșeli)

– Să greșim la calcule…

KIDI- sfaturi:

– scrieți pe „verticală” rezolvarea, este mult mai simplu de urmărit, iar în cazul unei greșeli este mai ușor de corectat

– nu efectuați mai multe operații odată! Respectați întocmai ordinea efectuării operațiilor!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”