Lecția 20. FORMULE DE CALCUL PRESCURTAT – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

7 rezolvări

Romană

• Noțiuni de reamintit

${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} {(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2} {(a + b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 b c + 2 a c {(a - b + c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b - 2 b c + 2 a c {(a + b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b - 2 b c - 2 a c {(a - b - c)}^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} - 2 a b + 2 b c - 2 a c$

• Exemple

${(1 + x)}^{2} = 1 + 2 x + x^{2} {(2 x - 3 y)}^{2} = 4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} (\frac{x}{2} + \frac{y}{3}) (\frac{x}{2} - \frac{y}{3}) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{9} {(1 + x - 2 y)}^{2} = 1 + x^{2} + 4 y^{2} + 2 x - 4 x y - 4 y$

• Observații

Aceste formule au și interpretări geometrice ( care restricționează totuși, concluzia, la numere reale pozitive- lungimi de segmente)

De exemplu:

Pătratul mare are latura egală cu

$(a + b)$ , deci aria sa va fi

${(a + b)}^{2}$ , alcătuită din două arii de pătrate cu laturile respectiv a și b, deci ariile de

$a^{2}, b^{2}$ și două dreptunghiuri, fiecare cu aria

$a b$ pentru că laturile au lungimile a, respectiv b. Extinderea la numere negative se face ținând cont că scăderea este o adunare ( cu opusul).

• Aplicații

Raționalizarea numitorului de forma

$(a \sqrt{b} \pm c \sqrt{d})$ : se amplifică fracția cu expresia „conjugată”, adică

$(a \sqrt{b} - c \sqrt{d}), r e s p e c t i v (a \sqrt{b} + c \sqrt{d})$ Exemple:

${}^{2 + \sqrt{5)}}{\frac{3}{2 - \sqrt{5}}} = \frac{3 (2 + \sqrt{5})}{4 - 5} = - 3 (2 + \sqrt{5})$ 2)

${}^{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3})}{\frac{1}{3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}}} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{{(3 \sqrt{2})}^{2} - {(2 \sqrt{3})}^{2}} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{18 - 12} = \frac{3 \sqrt{2} - 2 \sqrt{3}}{6}$ • Problemă: Calculați

$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ , dacă

$x + \frac{1}{x} = a$ Rezolvare:

${(x + \frac{1}{x})}^{2} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 x \cdot \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + 2 + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} \Leftrightarrow x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2$ • Riscuri (greșeli)

– să uităm formulele de calcul prescurtat.

KIDI- sfaturi:

– dacă nu suntem siguri, efectuăm calculul.

De exemplu

${(a + b)}^{2} = (a + b) (a + b) = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ , pentru că ab și ba sunt termeni asemenea, ținănd cont de comutativitatea înmulțirii.

– efectuăm pe rând fiecare calcul, nu mai multe odată.

De exemplu:

$(\sqrt{2} x - \sqrt{3} y) (\sqrt{2} x + \sqrt{3} y) = {(\sqrt{2} x)}^{2} - {(\sqrt{3} y)}^{2} = 2 x^{2} - 3 y^{2}$ – să aplicăm greșit a treia formulă. De exemplu: