Lecția 21. DESCOMPUNEREA ÎN FACTORI – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

10 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

1. FACTOR COMUN

a) coeficientul :

$2 x \pm 2 y = 2 (x \pm y)$

b) c.m.m.d.c. al coeficienților:

$15 x \pm 20 y = 5 (3 x \pm 4 y)$

c) o literă:

$\sqrt{3} a b \pm 5 a c = a (\sqrt{3} b \pm 5 c)$

d) un grup de litere ( fiecare la puterea cea mai mică la care apare):

$- 1, 7 x y^{3} z^{4} \pm x y z^{2} = x y z^{2} (- 1, 7 \pm z^{2})$

e) c.m.m.d.c.al numerelor și un grup de litere:

$2 a^{2} b^{3} \pm 27 a^{3} b = 9 a^{2} b (5 b^{2} \pm 3 a)$

f) paranteze în care sunt expresii algebrice:

$(x - 1) (x + 3) + (2 - 3 x) (x - 1) = (x - 1) [(x + 3) + (2 - 3 x)] = (x - 1) (x + 3 + 2 - 3 x) = (x - 1) (- 2 x + 5)$

2. UTILIZAREA FORMULELOR DE CALCUL PRESCURTAT

$a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$

Exemple:

$x^{2} + 12 x + 36 = x^{2} + 2 \cdot 5 \cdot x + 6^{2} = {(x + 6)}^{2} 9 x^{2} - 30 x + 25 = {(3 x)}^{2} - 2 \cdot 3 x \cdot 5 + 5^{2} = {(3 x - 5)}^{2} 49 x^{2} y^{4} - 16 = {(7 x y^{2})}^{2} - 4^{2} = (7 x y^{2} + 4) (7 x y^{2} - 4) 8 x^{2} - 3 y^{2} = {(\sqrt{8} x)}^{2} - {(\sqrt{3} y)}^{2} = (2 \sqrt{2} x + \sqrt{3} y) (2 \sqrt{2} x - \sqrt{3})$

${(2 x + 1)}^{2} - 2 (2 x + 1) (3 x - 2) + {(3 x + 2)}^{2} = {[(2 x + 1) - (3 x + 2)]}^{2} = {(- x - 1)}^{2} = {[(- 1) (x + 1)]}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

3. GRUPAREA TERMENILOR

Exemple:

$a x + b y + a y + b x = (a x + b x) + (a y + b y) = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)$

$x^{2} + 5 x + 6 = x^{2} + 2 x + 3 x + 6 = x (x + 2) + 3 (x + 2) = (x + 2) (x + 3) x^{2} - 4 x + 3 = x^{2} - x - 3 x + 3 = x (x - 1) - 3 (x - 1) = (x - 1) (x - 3) x^{2} + 2 x - 3 = x^{2} - x + 3 x - 3 = x (x - 1) + 3 (x - 1) = (x - 1) (x + 3) x^{2} - x - 6 = x^{2} - 3 x + 2 x - 6 = x (x - 3) + 2 (x - 3) = (x - 3) (x + 2)$

4. METODE COMBINATE

$x^{4} + x^{2} + 1 = = x^{4} + 2 x^{2} + 1 - x^{2} = = {(x^{2} + 1)}^{2} - x^{2} = = (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)$

• Observații

1) Putem descompune în termeni în etape:

Exemple:

$55 a b - 44 a b c = 11 (5 a b - 4 a b c) = 11 a b (5 - 4 c) (x + 1) (x - 1) + (x + 1) (x - 3) = (x + 1) (x - 1 + x - 3) = (x + 1) (2 x - 4) = 2 (x + 1) (x - 2)$

2) În general, descompunerea în factori este mai dificilă decât calculele cu numere reale reprezentate prin litere, așa că, dacă avem de arătat o idenititate, mai simplu este să prelucrăm membrul în care este descompunerea.

De exemplu: Arătați că

$x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6 = (x + 1) (x - 2) (x + 3)$

Rezolvare:

$(x + 1) (x - 2) (x + 3) = = (x^{2} - 2 x + x - 2) (x + 3) = = (x^{2} - x - 2) (x + 3) = = x^{3} + 3 x - x^{2} - 3 x - 2 x - 6 = = x^{3} + 2 x^{2} - 5 x - 6$

• Riscuri (greșeli)

Să greșim la calcule.

KIDI- sfat: Verificăm, folosind metoda explicată la Observația 2).

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Caraplix a conceput un plan prin care să paralizeze toate acțiunile educative din România. Vor arunca cu bolovani spațiali uriași către toate școlile din țară. Va fi un dezastru. Victime, haos, sărăcie. Tu ai fost desemnat să-l oprești. Mult succes!

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.