Lecția 22. RAPOARTE DE NUMERE REALE REPREZENTATE PRIN LITERE – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

Un raport în care numitorul și numărătorul sunt expresii algebrice, se numește RAPORT DE NUMERE REALE REPREZENTAT PRIN LITERE.

Exemplu:

$\frac{3x–7}{4+2x}$

Pentru că la numitor apare o expresie, înainte de a efectua orice operație, trebuie să ne asigurăm că există raportul, adică numitorul nu este 0.

În exemplul nostru, dacă

$4+2x=0\Rightarrow 2x=–4\Rightarrow x=–2.$

Deci pentru x=-2 nu are sens raportul.

Astfel, stabilim de la început că

$x\in \mathrm{ℝ}–\left\{–2\right\}$

, dacă nu este menționat acest lucru în enunț.

Ca la orice fracții, putem amplifica, simplifica, putem face operații de adunare, scădere, înmulțire, împărțire, ridicare la putere, respectând exact aceleași reguli ca și la fracțiile ordinare.

De exemplu amplificăm/simplificăm doar cu numere/expresii nenule, sau pentru adunare/scădere aducem la numitor comun, etc.

Orice raport trebuie scris la final sub forma ireductibilă!!!

• Amplificarea/ simplificarea

${}^{x+2)}\frac{x–1}{x+1}=\frac{\left(x–1\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{x^2+x–2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

, cu mențiunea că

$x\in \mathrm{ℝ}–\left\{–1, –2\right\}$

(

$x\ne –1$

pentru existența raportului,

$x\ne –2$

pentru a nu amplifica fracția cu 0) ,

$\frac{x^2+10x+25}{x^2–25}={\frac{{\left(x+5\right)}^2}{\left(x+5\right)\left(x–5\right)}}^{(\left(x+5\right)}=\frac{x+5}{x–5}$

cu mențiunea că

$\in \mathrm{ℝ}–\left\{\pm 5\right\}$

( pentru că

$x^2=25\iff x^2=25\iff x=\pm 5$

)

Observație: de obicei la numitor se păstrează expresia sub forma descompusă, pentru a putea ușor să se facă simplificarea ( unde este cazul).

• Adunarea și scăderea

Pentru aceste operații , avem nevoie de același numitor. Dacă nu avem numitor comun, aducem fracțiile la numitor comun printr-un procedeu similar cu cel de la fracții ordinare, apoi folosim formula:

$\frac{E\left(x\right)}{F\left(x\right)}\pm \frac{G\left(x\right)}{F\left(x\right)}=\frac{E\left(x\right)\pm G\left(x\right)}{F\left(x\right)}$

. La final, dacă se poate, simplificăm raportul ( cu c.m.m.d.c. dintre numărător și numitor).

Exemple:

1) Avem același numitor :similar cu situația

$\frac{13}{22}–\frac{1}{22}={\frac{12}{22}}^{(2}=\frac{6}{11}$

Pentru

$x\in {\mathrm{ℝ}}^{*}$

,

$\frac{8x–5}{7x^2}+\frac{5–x}{7x^2}=\frac{8x–5+5–x}{7x^2}=\frac{7x}{7x^2}=\frac{1}{x}$

( am avut același numitor, deci am putut aplica direct formula)

2) Numitorii nu au divizori comuni: similar cu situația

${}^{3)}\frac{1}{2}–{}^{2)}\frac{1}{3}=\frac{3–2}{6}=\frac{1}{6}$

Pentru

$x\in \mathrm{ℝ}–\left\{1, –2\right\}, {}^{x+2)}\frac{x–2}{x–1}–{}^{x–1)}\frac{x+1}{x+2}=\frac{x^2–4–\left(x^2–1\right)}{\left(x–1\right)\left(x+2\right)}=\frac{–3}{\left(x–1\right)\left(x+2\right)}$

,

( c.m.m.m.c. al numitorilor fiind

$\left(x–1\right)\left(x+2\right)$

)

3) Unul dintre numitori este divizorul celuilalt : similar cu situația

${}^{3)}\frac{1}{3}+\frac{2}{9}=\frac{3+2}{9}=\frac{5}{9}$

Calculați E(x) =

$\frac{6x–1}{2x+1}+\frac{2x^2–x–2}{2x^2+x}$

Atenție: Pentru că nu sunt menționate valorile lui x pentru care are lor expresia, PRIMA DATĂ determinăm domeniul maxim de definiție.

Anularea numitorilor se face dacă

$2x+1=0\iff x=–\frac{1}{2}$

sau

$2x^2+x=0\iff x\left(2x+1\right)=0\Rightarrow x=0 sau x=–\frac{1}{2}$

Așadar, domeniul pe care lucrăm va fi

$\mathrm{ℝ}–\left\{0, –\frac{1}{2}\right\}$

.

Avem deja descompuși numitorii:

$\left\{\begin{array}{l}2x+1=\left(2x+1\right)\\ 2x^2+x=x\left(2x+1\right)\end{array}\right.$ $\Rightarrow$

c.m.m.m.c. al numitorilor va fi

$x\left(2x+1\right)$

E(x) =

$$\begin{gathered} {}^x\frac{6x–1}{2x+1}+\frac{2x^2–x–2}{2x^2+x}= \\ =\frac{6x^2–x+2x^2–x–2}{x\left(2x+1\right)}= \\ =\frac{4x^2–2x–2}{x\left(2x+1\right)}= \\ = \frac{2\left(2x^2–x–1\right)}{x\left(2x+1\right)}= \\ ={\frac{2\left(2x+1\right)\left(x–1\right)}{x\left(2x+1\right)}}^{(2x+1}= \\ =\frac{2\left(x–1\right)}{x} \end{gathered}$$

4) Celelalte situații: similar cu situația

${}^{4)}\frac{1}{15}–{}^{5)}\frac{5}{12}=\frac{4–5}{60}=\frac{–1}{60}$

– numitorul cel mai ajantajos este c.m.m.m.c. al numitorilor.

Efectuați:

$\frac{x–3}{x^2+x}–\frac{x–1}{x^2+2x}, x\in \mathrm{ℝ}–\left\{0, –1, –2\right\}$

Descompunem numitorii:

$$\begin{gathered} x^2+x=x\left(x+1\right) \\ {x}^2+2x=x\left(x+2\right) \end{gathered}$$ $\Rightarrow N.C.=c.m.m.m.c.=x\left(x+1\right)\left(x+2\right)$

$$\begin{gathered} \Rightarrow {}^{x+2)}\frac{x–3}{x^2+x}–{}^{x+1)}\frac{x–1}{x^2+2x}= \\ =\frac{x^2–3x+2x–6–\left(x^2–1\right)}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{x^2–3x+2x–6–x^2+1}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)}= \\ =\frac{–x–5}{x\left(x+1\right)\left(x+2\right)} \end{gathered}$$

• Înmulțirea

Se procedează similar cu înmulțirea fracțiilor ordinare:

$\frac{E\left(x\right)}{F\left(x\right)}·\frac{G\left(x\right)}{H\left(x\right)}=\frac{E\left(x\right)·G\left(x\right)}{F\left(x\right)·H\left(x\right)}$

( cu

$F\left(x\right), H\left(x\right)\ne 0$

)

Important: Dacă se pot face simplificări, acestea vor fi efectuate înaintea aplicării formulei de mai sus. Deci va fi nevoie să facem prima dată descompunerile în factori.

Exemplu:

$\frac{x^2–16}{x^2–4x}·\frac{7x^2–x}{x^2+3x–4}=\frac{\cancel{\left(x–4\right)}\cancel{\left(x+4\right)}}{\cancel{x}\cancel{\left(x–4\right)}}·\frac{\cancel{x}\left(7x–1\right)}{\cancel{\left(x+4\right)}\left(x–1\right)}=\frac{7x–1}{x–1}(x\in \mathrm{ℝ}–\left\{0,\pm 4,1\right\})$

• Împărțirea

Se procedează similar cu împărțirea fracțiilor ordinare:

$\frac{E\left(x\right)}{F\left(x\right)}:\frac{G\left(x\right)}{H\left(x\right)}=\frac{E\left(x\right)}{F\left(x\right)}·\frac{H\left(x\right)}{G\left(x\right)}=\frac{E\left(x\right)·H\left(x\right)}{F\left(x\right)·G\left(x\right)}$

( cu

$F\left(x\right), G\left(x\right),H\left(x\right)\ne 0$

)

Exemplu: Pentru

$x\in \mathrm{ℝ}–\left\{0, 4, –\frac{1}{2}\right\}$

,

$\frac{x–4}{4x^2}:\frac{2x–8}{2x^2+x}=\frac{x–4}{4x^2}·\frac{2x^2+x}{2x–8}=\frac{\cancel{x–4}}{4x^{\cancel{2}}}·\frac{\cancel{x}\left(2x+1\right)}{2\cancel{\left(x–4\right)}}=\frac{2x+1}{8x}$

• Ridicarea la putere

${\left(\frac{E\left(x\right)}{F\left(x\right)}\right)}^n=\frac{{\left(E\left(x\right)\right)}^n}{{\left(F\left(x\right)\right)}^n}$

Exemplu:

${\left(\frac{x–1}{x+2}\right)}^2=\frac{{\left(x–1\right)}^2}{{\left(x+2\right)}^2}=\frac{x^2–2x+1}{x^2+4x+4}$

• Ordinea efectuării operațiilor: se respectă EXACT aceleași reguli ca și la operațiile cu fracții ordinare.

Exemplu: Pentru

$x\in \mathrm{ℝ}–\left\{\pm 2\right\}$

, calculați E(x)=

${\left[1–8\left(\frac{1}{x–2}+\frac{x}{4–x^2}\right):\left(\frac{1}{x–2}–\frac{1}{x+2}\right)\right]}^{2020}$

Rezolvare:

$$\begin{gathered} \frac{1}{x–2}+\frac{x}{4–x^2}=\frac{1}{x–2}–\frac{x}{x^2–4}={}^{x+2)}\frac{1}{x–2}–\frac{x}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}= \\ =\frac{x+2–x}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}=\frac{2}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)} \end{gathered}$$

${}^{x+2)}\frac{1}{x–2}–{}^{x–2)}\frac{1}{x+2}=\frac{x+2–x+2}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}=\frac{4}{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}$

$\Rightarrow \left(\frac{1}{x–2}+\frac{x}{4–x^2}\right):\left(\frac{1}{x–2}–\frac{1}{x+2}\right)=\frac{\cancel{2_1}}{\cancel{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}}·\frac{\cancel{\left(x+2\right)\left(x–2\right)}}{\cancel{4_2}}=\frac{1}{2}$

$\Rightarrow E\left(x\right)={\left(1–8·\frac{1}{4}\right)}^{2020}–{\left(1–2\right)}^{2020}={\left(–1\right)}^{2020}=1$

• Riscuri (greșeli) 

să greșim la semne sau calcule…

KIDI- sfaturi:

– Efectuăm pe rând ( „pe bucăți”) parantezele rotunde sau înmulțirile, de exemplu ca la exercițiul de la ordinea efectuării operațiilor. Dacă vom „merge” cu toate calculele din întreaga expresie inițială, este foarte greu de urmărit, fiind multe reguli/calcule/semne. După ce am prelucrat ceea ce se poate, revenim la expresia inițială și facem calculele finale.

– De exemplu în

$\frac{1}{x–2}+\frac{x}{4–x^2}$

numitorii erau

$\left(x–2\right), \left(2–x\right)\left(2+x\right)$

și pentru a nu greși la semne , am făcut prelucrarea

$\frac{1}{x–2}+\frac{x}{4–x^2}=\frac{1}{x–2}–\frac{x}{x^2–4}$

cu numitorii

$\left(x–2\right), \left(x–2\right)\left(x+2\right)$

.

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”