Lecția 26. ECUAȚIA DE GRADUL AL DOILEA – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

4 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

$a x^{2} + b x + c = 0, a, b, c \in ℝ, a \neq 0$

se numește ecuație de gradul al doilea

$∆ = b^{2} - 4 a c$

se numește determinantul (discriminantul) ecuației de gradul al II-lea

$∆ > 0 \Rightarrow$

ecuația are două soluții diferite, date de formula

$x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a} \Rightarrow S = \{\frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a}\}$

$∆ = 0 \Rightarrow$

ecuația are două soluții egale, date de formula

$x_{1} = x_{2} = \frac{- b}{a} \Rightarrow S = \{- \frac{b}{a}\}$

$∆ < 0 \Rightarrow$

ecuația nu are soluții

$\Rightarrow S = \emptyset$

• Exemple

$x^{2} - 5 x + 6 = 0 a = 1, b = - 5, c = 6 ∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 > 0, \sqrt{∆} = 1 x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a} \Rightarrow x_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2, x_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \Rightarrow S = \{2, 3\}$

$x^{2} - 4 x + 4 = 0 a = 1, b = - 4, c = 4 ∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \Rightarrow x_{1} = x_{2} = - \frac{b}{2 a} \Rightarrow x_{1} = x_{2} = 2 \Rightarrow S = \{2\}$

$x^{2} + x + 1 = 0 a = 1, b = - 1, c = 1 ∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 1)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = - 3 < 0 \Rightarrow S = \emptyset$

• Cazuri particulare

$b = 0 \Rightarrow a x^{2} = - c \Rightarrow x^{2} = - \frac{c}{a}$

cu soluțiile

$\pm \sqrt{- \frac{c}{a}}$

pentru

$- \frac{c}{a} > 0$

;

$x_{1} = x_{2} = 0$

pentru

$- \frac{c}{a} = 0 \Leftrightarrow c = 0$

; fără soluție pentru

$- \frac{c}{a} < 0$

$c = 0, b \neq 0 \Rightarrow x (a x + b) = 0 \Rightarrow x_{1} = 0, x_{2} = - \frac{b}{a} \Rightarrow S = \{0, - \frac{b}{a}\}$

• Aplicații

$a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$

unde

$x_{1}, x_{2}$

sunt rădăcinile( dacă există) ecuației atașate

$a x^{2} + b x + c = 0$

Exemplu:

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}) (x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$

Justificare:

$4 x^{2} - 4 x - 1 = 0 \Rightarrow a = 4, b = - 4, c = - 4 ∆ = b^{2} - 4 a c = {(- 4)}^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 1) = 16 + 16 = 32 > 0 \sqrt{∆} = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} x_{1, 2} = \frac{- b \pm \sqrt{∆}}{2 a} \Rightarrow x_{1} = \frac{4 - 4 \sqrt{2}}{8} = \frac{1 - \sqrt{2}}{2}, x 2 = \frac{4 + 4 \sqrt{2}}{8} = \frac{1 + \sqrt{2}}{2}$

Conform aplicației,

$\Rightarrow 4 x^{2} - 4 x - 1 = 4 (x - \frac{1 - \sqrt{2}}{2}) (x - \frac{1 + \sqrt{2}}{2})$

• Observație: Dacă ecuația nu are forma standard ( canonică), trebuie să o aducem la forma aceasta, înainte de a o rezolva

De exemplu,

$x^{2} - 3 x - 3 = 1 \Leftrightarrow x^{2} - 3 x - 4 = 0 \Rightarrow a = 1, b = - 3, c = - 4, ∆ = 25 > 0 \Rightarrow x_{1} = 4, x_{2} = - 1 \Rightarrow S = \{4, - 1\}$