Lecția 27. SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE – pregătirea Evaluării Naționale

30 puncte bonus

5 rezolvări

Romană

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Noțiuni de reamintit

$\{\begin{cases} a x + b = c \\ d x + e = f \end{cases}$ $a, b, c, d, e, f \in ℝ$

, este un sistem de două ecuații cu două necunoscute: x și y.

• Metoda substituției

Din una dintre ecuații se scrie una din necunoscute, în funcție de cealaltă ( de exemplu: din a doua ecuație

$x = \frac{f - e y}{d}$

, dacă

$d \neq 0$

), se introduce în cealaltă ecuație (

$a \frac{f - e y}{d} + b y = c$

) și se va obține o ecuație de gradul I cu cealaltă necunoscută, care se va rezolva. Valoarea obținută se va folosi pentru aflarea necunoscutei

Exemplu:

$\{\begin{array}{l} 2 x - y = 5 \Rightarrow y = 2 x - 5 \\ 3 x + 4 y = 13 \Rightarrow 3 x + 4 (2 x - 5) = 13 \Rightarrow 11 x = 33 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow y = 2 \cdot 3 - 5 \Rightarrow y = 1 \end{array} \Rightarrow S = \{(3, 1)\}$

• Metoda reducerii

Înmulțim ecuațiile (obținând, astfel, ecuații echivalente cu cele inițiale) astfel încât una din necunoscute să aibă coeficienți opuși în cele două ecuații. Adunând noile ecuații, va disparea una din necunoscute și vom afla cealaltă necunoscută, după care vom înlocui valoarea obținută în una din ecuații, obținând cealaltă rădăcină.

$\{\begin{cases} 2 x - y = 5 | \cdot 4 \\ 3 x + 4 y = 13 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 8 x - 4 y = 20 \\ 3 x + 4 y = 13 \end{cases}$

______________

$11 x = 33 \Rightarrow x = 3 \Rightarrow 2 \cdot 3 - y = 5 \Rightarrow y = 6 - 5 \Rightarrow y = 1 \Rightarrow S = \{(3, 1)\}$

• Alte exemple:

$\{\begin{cases} 2 x - y = 5 | \cdot (- 2) \\ 4 x - 2 y = 10 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 x + 2 y = - 10 \\ 4 x - 2 y = 10 \end{cases} \Rightarrow 0 x + 0 y = 0$ , relație verificată de o infinitate de perechi de forma
$(x, y = 2 x - 5) \Rightarrow S = \{(x, 2 x - 5) | x \in ℝ\}$ . În această situație cele două ecuații sunt echivalente.
$\{\begin{cases} 2 x - y = 5 | \cdot (- 2) \\ 4 x - 2 y = 12 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 4 x + 2 y = - 10 \\ 4 x - 2 y = 12 \end{cases} \Rightarrow 0 x + 0 y = 2$ , relație imposibilă, oricare ar fi numerele reale x, y.
$\Rightarrow S = \emptyset$ . În această situație cele două drepte ( reprezentările grafice) sunt paralele.

• Aplicații: rezolvarea unor probleme.

1) Suma a două numere este egală cu 12, iar diferența este egală cu 2. Aflați numerele.

Rezolvare:

Fie x, y numerele. Cum diferența lor nu este 0, înseamna că nu sunt egale. Fără a restrânge generalitatea, putem presupune că . Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\{\begin{cases} x + y = 12 \\ x - y = 2 \end{cases} a d u n â n d c e l e d o u ă e g a l i t ă ț i \Rightarrow 2 x = 14 \Rightarrow x = 7 \Rightarrow 7 + y = 12 \Rightarrow y = 5$

Numerele sunt 7 și 5.

2) Într-un bloc sunt 22 de apartamente cu 3 sau 4 camere. Știind că sunt în total 78 de camere, aflați câte apartamente sunt cu 3 camere și câte sunt cu 4 camere.

Rezolvare:

Fie x= numărul apartamentelor cu 3 camere, y = numărul apartamentelor cu 3 camere,

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\{\begin{cases} x + y = 22 | \cdot (- 3) \\ 3 x + 4 y = 78 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} - 3 x - 3 y = - 66 \\ 3 x + 4 y = 78 \end{cases} \Rightarrow y = 12 \Rightarrow x + 12 = 22 \Rightarrow x = 10$

Sunt 10 apartamente cu câte 3 camere și 12 apartamente cu câte 4 camere.

3) Dacă într-o sală de clasă stau câte doi elevi într-o bancă, 5 elevi nu ar avea loc, iar dacă stau câte 3 elevi într-o bancă, rămân 3 bănci goale. Câte bănci și câți elevi sunt în clasă?

Rezolvare:

Fie e= numărul elevilor, b = numărul băncilor

Enunțul problemei se va transcrie matematic:

$\{\begin{array}{l} 2 b + 5 = e \\ 3 (b - 3) = e \end{array} \Rightarrow 2 b + 5 = 3 (b - 3) \Rightarrow b = 14 \Rightarrow 3 = 33$

Sunt 33 de elevi și 14 bănci.

• Observații:

1) Indiferent de ordinea în care am aflat soluțiile, în prima poziție se trece valoarea corespunzătoare primei necunoscute!

2) Ce le două metode sunt exacte, dar dacă avem nevoie de o aproximare, putem folosi METODA GRAFICĂ: reprezentăm grafic dreapta soluțiilor pentru cele două ecuații și intersecția acestora ( dacă există) ne va da indicii cu privire la soluție.

• Riscuri (greșeli)

– să scriem pe prima poziție a perechii- soluție, prima valoare obținută sau să…greșim la calcule.

KIDI- sfat: Verificăm dacă valorile obținute sunt soluții pentru ambele ecuații!

Felicitări! Ai terminat cursul!

„A N T R E N A M E N T U L KIDI-10”

Sigur nu te așteptai la asta.

Multi Eyes vrea să lanseze un virus de reduceri. Oamenii vor înnebuni și vor cheltui toți banii pe care îi au. Dezastru. Doar tu poți salva situația.

Dacă vrei să-ți salvezi punctele câștigate și să apari în topurile Kidibot, trebuie să fii logat(ă). Creează-ți aici un cont sau loghează-te.

Exemple de întrebări din quizul "Lecția 27. SISTEME DE DOUĂ ECUAȚII CU DOUĂ NECUNOSCUTE – pregătirea Evaluării Naționale"

Sistemul $\{\begin{cases} x + 5 y = 2 \\ 3 x + 15 y = 6 \end{cases}$
Determinați funcția liniară al cărei grafic trece prin punctele de coordonate A(2,-1), B(3,1).
Vasile are 1900 de lei, în bancnote de 200, respectiv 100 de lei. Dacă în total are 12 bancnote, câte bancnote de 200 de lei are Vasile?