Lecția 7. MULȚIMEA NUMERELOR RAȚIONALE (III) – pregătirea Evaluării Naționale

Autor quiz: Prof. Mihaela Molodet

• Operații cu fracții ordinare

 

1. Adunarea/ scăderea : 
   $\frac{a}{c}\pm \frac{b}{c}=\frac{a\pm b}{c},a,b,c\in \mathrm{\mathbb{Z}},c\ne 0$

 Dacă fracțiile nu au același numitor, aducem la același numitor.

Exemple:

$\frac{5}{9}+\frac{7}{9}={\frac{12}{9}}^{(3}=\frac{4}{3}$

OBS: rezultatul trebuie scris ca fracție ireductibilă!

$$\begin{gathered} \frac{8}{7}–\frac{9}{7}=\frac{–1}{7}=–\frac{1}{7} \\ \frac{1}{2}+\frac{2}{3}={}^{3)}\frac{1}{2}+{}^{2)}\frac{2}{3}=\frac{3}{6}+\frac{4}{6}=\frac{7}{6} \end{gathered}$$

2. Înmulțirea

$\frac{m}{n}·\frac{p}{q}=\frac{m·p}{n·q}, m, n, p, q\in \mathrm{\mathbb{Z}}, n,q\ne 0$

Exemple:

 

$$\begin{gathered} \frac{3}{5}·\frac{7}{4}=\frac{21}{20} \\ –\frac{3}{7}·\frac{14}{9}=–{\frac{42}{63}}^{(21}=–\frac{2}{3} sau \end{gathered}$$

pentru simplificarea calculelor, întâi putem simplifica: 

$–\frac{\cancel{3_1}}{\cancel{7_1}}·\frac{\cancel{{14}_2}}{\cancel{9_3}}=–\frac{1·2}{1·3}=–\frac{2}{3}$

3. Împărțirea

$\frac{m}{n}:\frac{p}{q}=\frac{m}{n}·\frac{q}{p}, m,n,p,q\in \mathrm{\mathbb{Z}}, n,p,q\ne 0$

Exemple:

   

$\frac{4}{12}:\frac{2}{5}=\frac{\cancel{4_{\cancel{2_1}}}}{\cancel{{12}_6}}·\frac{5}{\cancel{2_1}}=\frac{5}{6}$     

$\left(–\frac{15}{14}\right):\left(–\frac{5}{7}\right)=\left(–\frac{\cancel{{15}_3}}{\cancel{{14}_2}}\right)·\left(–\frac{\cancel{7_1}}{\cancel{5_1}}\right)=+\frac{3}{2}$

        

4. Ridicarea la putere

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}, a,b\in \mathrm{\mathbb{Z}}, b\ne 0, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

Atenție: mai întâi stabilim semnul ( cu aceeași regulă ca la numerele întregi) , apoi modulul.

Exemple:

 

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2=\frac{2^2}{3^2}=\frac{4}{9}$  

${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1^3}{2^3}=\frac{1}{8}$

     

${\left(–\frac{5}{4}\right)}^2=+\frac{5^2}{4^2}=\frac{25}{16}$

     

${\left(–\frac{5}{4}\right)}^3=–\frac{5^3}{4^3}=–\frac{125}{64}$

 

Observații: Se extind regulile de calcul cu puteri, cunoscute la numere întregi.

 

• Puterea negativă a unui număr rațional

$a^{–n}=\frac{1}{a^n}, a\in {\mathrm{\mathbb{Q}}}^{*}, n\in \mathrm{\mathbb{N}}$

OBS:   

$a^{–1}=\frac{1}{a}$ se numește inversul lui a (

$a\ne 0$ )

   

${\left(\frac{m}{n}\right)}^{–1}=\frac{n}{m}, m, n\in {\mathrm{\mathbb{Z}}}^{*}$        

Exemple:

 

$$\begin{gathered} 3^{–1}=\frac{1}{3} \\ {5}^{–2}=\frac{1}{5^2}=\frac{1}{25} \\ {\left(\frac{2}{9}\right)}^{–1}=\frac{9}{2} \\ {\left(–\frac{7}{5}\right)}^{–1}=–\frac{5}{7} \\ {\left(–\frac{4}{5}\right)}^{–3}={\left[{\left(–\frac{4}{5}\right)}^{–1}\right]}^3={\left(–\frac{5}{4}\right)}^3=–\frac{125}{64} sau \\ ={\left[{\left(–\frac{4}{5}\right)}^3\right]}^{–1}={\left(–\frac{64}{125}\right)}^{–1}=–\frac{125}{64} \end{gathered}$$               

                

• Operații cu fracții zecimale

1. Adunarea/ scăderea – fracții zecimale finite

Putem transforma în fracții ordinare și aplicăm regulile acestora.

Sau

Așezăm fracțiile una sub alta, având grijă ca virgula celui de al doilea număr să fie „sub” virgula primului număr, adunăm ca și când nu am avea virgulâ, dar când ajungem la aceasta, o trecem la rezultat.

Exemple: 12,3 + 5,2=  12,3 +

                                    5,2

                                  17,5

                       3,42+ 52,8 = 3,42+52,80= 3,42+

                                                              52,80

                                                              56,22

OBS.: Dacă nu avem același număr de zecimale, putem completa cu cifre de 0

                       5,87 – 1,3 = 5,87-

                                          1,30

                                          4,57

                        13,5 – 18,6 = – ( 18,6 –

                                                 13,5 )

                                              –   5,1

2. Înmulțirea – fracții zecimale finite

Putem transforma în fracții ordinare și aplicăm regulile acestora.

Sau

Înmulțim numerele ca și când nu ar fi virgula, la final așezăm virgula așa încât numărul cifrelor de după virgulă de la rezultat să fie egal cu totalul cifrelor de după virgulă al celor două numere înmulțite.

Atenție la stabilirea semnului!

Exemplu: 

$–2,34·1,2=–2,808$ ( pentru că ,

$234·12=2808$în total după virgulă sunt 3 cifre)

3. Împărțirea: – fracții zecimale finite- cel mai simplu este să transformăm în fracții ordinare și să aplicăm regulile acestora.

Exemplu: 

$–1,2:0,5=–\frac{12}{\cancel{{10}_1}}·\frac{\cancel{{10}_1}}{5}=–\frac{12}{5}=–2,4$

Sau                           =

$–12:5=–2,4$

4. Ridicarea la putere – fracții zecimale finite

Stabilim semnul, apoi modulul, ridicând la putere modulul numărului.

Exemplu:

${\left(–0,1\right)}^3=–0,1^3=–0,001$

OBS: pentru operațiile cu fracțiile zecimale infinite ( periodice simple sau mixte), transformăm în fracții ordinare, apoi efectuăm calculele.

 

• Observații

    –  Pentru împărțirea a două numere naturale, dacă avem rest nenul, punem virgulă la rezultat și continuăm împărțirea adăugând cifre de 0 de câte ori avem nevoie.

    –  Ordinea efectuării aperațiilor se extinde de la numerele întregi la numerele raționale, cu aceleași reguli.

    –  Regulile de calcul cu puteri se extind de la numerele întregi la numerele raționale.

   –  Nu avem fracții zecimale cu perioada 9

 

• Riscuri (greșeli)

– să nu calculăm corect sume ( diferențe) de fracții zecimale.

         Exemplu: 1,(2)+2,(3)=3,(5)  pentru că 

$\frac{11}{9}+\frac{21}{9}=\frac{32}{9}=3,\left(5\right)$

                  Dar  1,(4)+3,(5)

$\ne$4,(9), ci 1,(4)+3,(5) =

$\frac{13}{9}+\frac{32}{9}=\frac{45}{9}=5$

     KIDI- sfat:  dacă avem de efectut operații cu fracții zecimale  periodice, întâi transformăm în fracții ordinare.

 

 

Felicitări! Ai terminat cursul!

 

„A N T R E N A M E N T U L   KIDI-10”